Title: C02 - Séries

Q: Méthode
Quelle sont les différences éventuelles entre
\[\sum_{k=1}^nu_k;\hspace{0.4cm}\sum_{k\geqslant 1}u_k; \hspace{0.4cm}\sum_{k=1}^{+\infty}u_k\hspace{0.3cm}\mbox{et}\hspace{0.3cm}\left(\sum_{k=1}^nu_k\right)_{n\in\mathbb{N}}.\]
A: [$]\dsum_{k=1}^nu_k[/$] désigne la kème somme partielle. C'est un nombre réel.
[$]\left(\dsum_{k=1}^nu_k\right)_{n\in\mathbb{N}}[/$] désigne la suite des sommes partielles. C'est un synonyme de [$]\dsum_{k\geqslant 1}u_k[/$]. Ce sont des suites (c'est-à-dire un ensemble de nombres réels).
[$]\dsum_{k=1}^{+\infty}u_k[/$] sous-entend que la série converge et désigne sa somme (sa limite).

Q: Cours
Qu'est-ce que la série harmonique ? Converge-t-elle ?
A: La série harmonique est la série
\[\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k}.\]
Elle diverge.

Q: Cours
Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0.
A: On peut par exemple penser à la série harmonique
\[\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k}\]
qui diverge mais dont le terme général \(\frac{1}{k}\) tend vers 0 lorsque \(k\) tend vers \(+\infty\).
La série
\[\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{k}}\]
est un autre exemple.

Q: Méthode
Décrire la méthode dite du \(n^2\).
A: \(\bullet\) L'objectif est d'étudier la convergence de la série de terme général \(u_k\) avec \(u_k\geqslant 0\).
\(\bullet\) On montre que \(k^2u_k\) tend vers 0 lorsque \(k\) tend vers \(+\infty\).
\(\bullet\) On en conclut que
[$$]u_k=\petito{k\to +\infty}{\frac{1}{k^2}}.[/$$]
\(\bullet\) Puisque la série \(\sum u_k\) est à terme positifs, on peut appliquer le théorème de comparaison.
\(\bullet\) On en déduit que \(\sum u_k\) converge.

Q: Méthode
Pour une série dont le terme général change de signe, pourquoi faut-il commencer par étudier l'absolue convergence ?
A: L'absolue convergence implique la convergente. Ainsi, de l'absolue convergence, on en déduit que la série converge.
Attention, ce n'est pas parce qu'une série n'est pas absolument convergente qu'elle ne peut pas quand même être convergente.

Q: Cours
Décrire, selon les valeurs de \(q\), la convergence et la valeur de la somme de la série
\[\sum_{k\geqslant 0}q^k\]
A: \(\bullet\) Si \(q\notin \left]-1,1\right[\), la série diverge car le terme général ne tend pas vers 0.
\(\bullet\). Si \(q\in\left]-1,1\right[\), alors on peut calculer les sommes partielles :
\[\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
et on en déduit que la série converge vers \(\frac{1}{1-q}\)

Q: Cours
Qu'est-ce qu'une série géométrique dérivée première ? Dans quels cas converge-t-elle et quelle est la valeur de la somme ?
A: C'est la série
\[\sum_{k\geqslant 1}kq^{k-1}.\]
Elle converge lorsque \(-1< q< 1\) et la somme vaut
\[\frac{1}{(1-q)^2}.\]

Q: Cours
Qu'est-ce qu'une série géométrique dérivée seconde ? Dans quels cas converge-t-elle et quelle est la valeur de la somme ?
A: C'est la série
\[\sum_{k\geqslant 2}k(k-1)q^{k-2}.\]
Elle converge lorsque \(-1< q< 1\) et la somme vaut
\[\frac{2}{(1-q)^3}.\]

Q: Cours
Qu'est-ce qu'une série télescopique ? Dans quels cas converge-t-elle et quelle est la valeur de la somme ?
A: C'est une série qui peut s'écrire sous la forme
\[\sum_{k\geqslant 1}(u_k-u_{k-1}).\]
On peut alors calculer les sommes partielles :
\[\sum_{k=1}^n(u_k-u_{k-1})=u_n-u_1.\]
On en déduit que la série télescopique converge si et seulement si la suite converge. On a alors
\[\sum_{k= 1}^{+\infty}(u_k-u_{k-1)}=\lim_{n\to+\infty}u_n-u_1.\]

Q: Cours
Qu'est-ce que la série exponentielle ? Dans quels cas converge-t-elle et quelle est la valeur de la somme ?
A: C'est la série
\[\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{k!}.\]
Elle converge pour toutes les valeurs de \(x\) et sa somme vaut
\[\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}=e^x\]
(d'où son nom).

Q: Cours
Qu'est-ce qu'une série de Riemann ? Dans quels cas converge-t-elle ?
A: C'est la série
\[\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k^\alpha}\]
Elle converge si et seulement si \(\alpha>1\).
Lorsqu'elle converge, on ne connait pas la valeur de la somme.

Q: Cours
Quels sont les 5 types de séries convergentes dont on connait la valeur exacte de la somme
A: Il s'agit des séries géométriques, géométriques dérivées premières et géométriques dérivées seconde (lorsque la raison est entre -1 et 1), des séries télescopiques, et de la série exponentielle.

Q: Cours
Quel est le seul type de série de référence dont on peut décider de la convergence sans pouvoir connaître la valeur exacte de la somme ?
A: Il s'agit des séries de Riemann
\[\sum_{k\geqslant 1}\frac{1}{k^\alpha}\]
qui convergent lorsque \(\alpha>1\) mais dont on ne connait pas la somme exacte.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Les théorèmes de comparaison sont-ils aussi valable pour des séries à termes négatifs .
A: Vrai, en voici une preuve rapide.
Si \(u_n\leqslant 0\), alors la série
\[\sum_{k\geqslant 0}-u_k\]
est une série à termes positifs. On sait que cette série converge si et seulement si la série originelle
\[\sum_{k\geqslant 0}u_k\]
converge.
Or les théorèmes de comparaisons s'appliquent pour la suite \(\left(-u_k\right)_{k\in\mathbb{N}}\) et permettent d'en déduire la nature de la série
\[\sum_{k\geqslant 0}-u_k\]
de laquelle on conclut sur la nature de la série
\[\sum_{k\geqslant 0}u_k\]

Q: Cours
Compléter le critère de comparaison des séries par équivalent.
Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries. On suppose que
[latex]
\begin{itemize}
\item Les séries sont à termes \textcolor{blue}{$\cdots$} .
\item On a $u_n\dsim_{n\to+\infty} v_n$.
\end{itemize}
Alors les séries \(\sum_{n\geqslant 1} u_n\) et \(\sum_{n\geqslant 1} v_n\) sont \textcolor{blue}{$\cdots$} .
[/latex]
A: Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries. On suppose que
[latex]
\begin{itemize}
\item Les séries sont à termes \textcolor{blue}{positifs} .
\item On a $u_n\dsim_{n\to+\infty} v_n$.
\end{itemize}
Alors les séries \(\sum_{n\geqslant 1} u_n\) et \(\sum_{n\geqslant 1} v_n\) sont \textcolor{blue}{de même nature}.
[/latex]
"de même nature" signifie que si l'une converge, alors l'autre aussi et si l'une diverge, alors l'autre aussi.

Q: Cours
Compléter le critère de comparaison des séries par négligeabilité.
Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries. On suppose que
[latex]
\begin{itemize}
\item Les séries sont à termes \textcolor{blue}{$\cdots$} .
\item On a $u_n=\petito{n\to+\infty}{v_n}$.
\end{itemize}
Alors
\begin{itemize}
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} v_n$ converge alors $\dsum_{n\geqslant 1}u_n$ \textcolor{blue}{$\cdots$} .
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} u_n$ diverge alors $\dsum_{n\geqslant 1}v_n$ \textcolor{blue}{$\cdots$} .
\end{itemize}
[/latex]
A: Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries. On suppose que
[latex]
\begin{itemize}
\item Les séries sont à termes \textcolor{blue}{positifs} .
\item On a $u_n=\petito{n\to+\infty}{v_n}$.
\end{itemize}
Alors
\begin{itemize}
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} v_n$ converge alors $\dsum_{n\geqslant 1}u_n$ \textcolor{blue}{converge} .
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} u_n$ diverge alors $\dsum_{n\geqslant 1}v_n$ \textcolor{blue}{diverge} .
\end{itemize}
[/latex]

Q: Cours
Compléter le critère de comparaison des séries par majoration.
Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries. On suppose que
[latex]
\begin{itemize}
\item Les séries sont à termes \textcolor{blue}{$\cdots$} .
\item On a pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant v_n$.
\end{itemize}
Alors
\begin{itemize}
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} v_n$ converge alors $\dsum_{n\geqslant 1}u_n$ \textcolor{blue}{$\cdots$} .
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} u_n$ diverge alors $\dsum_{n\geqslant 1}v_n$ \textcolor{blue}{$\cdots$} .
\end{itemize}
[/latex]
A: Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries. On suppose que
[latex]
\begin{itemize}
\item Les séries sont à termes \textcolor{blue}{positifs} .
\item On a pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant v_n$.
\end{itemize}
Alors
\begin{itemize}
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} v_n$ converge alors $\dsum_{n\geqslant 1}u_n$ \textcolor{blue}{converge} .
\item Si $\dsum_{n\geqslant 1} u_n$ diverge alors $\dsum_{n\geqslant 1}v_n$ \textcolor{blue}{diverge} .
\end{itemize}
[/latex]

Q: Cours
Qu'est-ce qu'une série absolument convergente ?
A: Il s'agit d'une série \(\sum u_n\) telle que
\[\sum_{n\geqslant 1}\left|u_n\right|\]
converge.
Il est important de connaître qu'une série absolument convergente est convergente.

Q: Cours
Donner un exemple de série convergente qui n'est pas absolument convergente.
A: La série alternée
\[\sum_{k\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{n}\]
est convergente (voir séance d'exos) mais pas absolument convergente car la série des valeurs absolues est la série harmonique (divergente).

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre-exemple selon les cas)
Si \(0\leqslant u_n\leqslant v_n\) et que \(\sum v_n\) converge alors \(\sum u_n\) converge.
A: Vrai, c'est le critère de comparaison pour les séries à termes positifs.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre-exemple selon les cas)
Si \(u_n\leqslant v_n\) et que \(\sum v_n\) converge alors \(\sum u_n\) converge.
A: Faux, ce n'est pas le critère de comparaison car il manque l'hypothèse de positivité.
Pour un contre exemple, on peut prendre \(u_n=-\frac{1}{n}\) dont la série diverge et \(v_n=\frac{1}{n^2}\) dont la série converge. On a bien \(u_n\leqslant v_n\).

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre-exemple selon les cas)
Si \(u_n\geqslant v_n\geqslant 0\) et que \(\sum v_n\) converge alors \(\sum u_n\) converge.
A: Faux, ce n'est pas la bonne majoration pour utiliser le critère de comparaison.
Pour un contre exemple, on peut prendre \(u_n=\frac{1}{n}\) dont la série diverge et \(v_n=\frac{1}{n^2}\) dont la série converge.
Ces deux séries sont bien à termes positifs et on a \(u_n\geqslant v_n\).

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre-exemple selon les cas)
Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes positifs avec
[$$]v_n=\petito{n\to+\infty}{u_n}.[/$$]
On suppose que \(\sum v_n\) converge. Alors \(\sum u_n\) converge aussi.
A: Faux, ce n'est pas la bonne relation de négligeabilité pour appliquer le théorème de comparaison.
Pour un contre-exemple, on peut prendre \(u_n=\frac{1}{n}\) dont la série diverge et \(v_n=\frac{1}{n^2}\) dont la série diverge.
Les deux séries sont à termes positifs et on a bien
[$$]v_n=\petito{n\to+\infty}{u_n}.[/$$]

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre-exemple selon les cas)
Soit \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes positifs avec
[$$]u_n=\petito{n\to+\infty}{v_n}.[/$$]
On suppose que \(\sum v_n\) converge. Alors \(\sum u_n\) converge aussi.
A: Vrai, c'est ce que dit le théorème de comparaison par négligeabilité.

Q: Programmation
Quelle est la commande \(\textsf{Python}\) pour sommer les éléments d'une liste.
A: C'est la commande \(\textsf{sum()}\).
Par exemple
\(\textsf{A=[1,2,3,4,5,6]}\)
\(\textsf{S=sum(A)}\)
\(\textsf{print(S)}\)
retourne 21.

Q: Mini exercice
Besoin de brouillon
Justifier la convergence et calculer la somme de la série
\[\sum_{k\geqslant 0}\frac{k^2+2^k}{4^k}\]
A: Il s'agit d'une somme de séries géométrique de raison \(\frac{1}{4}\), géométriques dérivée première et dérivée seconde de raison \(\frac{1}{2}\). On en déduit la convergence.
Après calculs, on trouve une somme de
\[\frac{74}{27}\]

Q: Mini exercice
Justifier la convergence de la série
\[\sum_{k\geqslant 1}\frac{\ln(k)}{k^3}.\]
On ne demande pas de calculer précisément la valeur de la somme.
A: Posons
\[u_k=\frac{\ln(k)}{k^3}\]
et appliquons à \(u_k\) la méthode du \(k^2\). On a en effet
\[k^2u_k=\frac{\ln(k)}{k}\to 0\]
par croissances comparées.
On en déduit que
[$$]u_k=\petito{k\to+\infty}{\frac{1}{k^2}}[/$$]
et comme les deux séries sont à termes positifs, on conclut à la convergence de \(\sum u_k\) par théorème de comparaison par négligeabilité.